
В треугольнике известно, что Найдите длину медианы
Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами

В треугольнике известно, что Найдите длину медианы
| Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах. |
|
Проверяется связь длины дуги с центральным углом и свойство вписанного угла. Дуга составляет 1/5 длины окружности, значит, соответствующий центральный угол равен 360° / 5 = 72°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального: 72° / 2 = 36°. Ответ: 36.

В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 60. Найдите боковую сторону треугольника .
Проверяется связь углов равнобедренного треугольника и свойства медианы к основанию. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой боковой стороной sin 30° = 60 / AB; значит, AB = 120.
Ответ: 120.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.

Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.

правильный восьмиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство внутреннего угла правильного многоугольника. У правильного восьмиугольника каждый внутренний угол равен (8 − 2) · 180° / 8 = 135°. Угол EFG образован соседними сторонами EF и FG, значит, он равен внутреннему углу восьмиугольника.
Ответ: 135.

В равнобедренном треугольнике основание равно 40, площадь треугольника равна 420. Найдите длину боковой стороны .
Проверяется площадь треугольника и теорема Пифагора. Высота к основанию равна 2 · 420 / 40 = 21, а половина основания — 20. Боковая сторона равна √(20² + 21²) = 29. Ответ: 29.
| В треугольнике известно, что Найдите длину медианы |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы к основанию. Медиана делит основание пополам: AM = MC = 18 / 2 = 9.
В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM = √(15² − 9²) = √144 = 12.
Ответ: 12.

Площадь прямоугольника равна 140, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Вторая сторона прямоугольника равна 140/7 = 20. В треугольнике ACD катеты AD = 20 и CD = 7, поэтому tg ∠CAD = CD/AD = 7/20 = 0,35.
Ответ: 0,35.

Площадь прямоугольника равна 160, сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяется применение свойств прямоугольника и определения тангенса. Вторая сторона равна 160 / 8 = 20. В прямоугольном треугольнике ACD для угла CAD тангенс равен CD / AD = 8 / 20 = 0,4. Ответ: 0,4.

В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике на сторонах и отмечены точки и соответственно так, что , а . Во сколько раз площадь треугольника больше площади треугольника ?
Задание проверяет отношение площадей треугольников через основание и высоту. Возьмём основания BK и BC: их отношение равно 10/11. Высота из M к прямой BC вдвое меньше высоты из A, поскольку BM/BA = 1/2 и точка M лежит на AB.
По формуле площади получаем S(MBK)/S(ABC) = (10/11) · (1/2) = 5/11. Значит, площадь ABC больше площади MBK в 11/5 = 2,2 раза.
Ответ: 2,2.

В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Задание проверяет свойства углов треугольника и биссектрисы. Внутренние углы при A и C равны 30°, поэтому угол B равен 120°. Биссектриса BK делит угол B пополам, значит в треугольнике ABK углы равны 30°, 60° и 90°; AB — гипотенуза. Тогда BK = AB · sin 30° = 48 · 0,5 = 24.
Ответ: 24.

Площадь прямоугольного треугольника равна 180.
Один из катетов равен 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Проверяется площадь прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Из формулы площади второй катет равен 2 · 180 / 40 = 9.
Тогда гипотенуза равна √(40² + 9²) = √1681 = 41.
Ответ: 41.

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 6 и 10. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется свойство площадей прямоугольников после двух разрезов. Обозначим ширины столбцов через x и y, высоты строк — через a и b. По условию xa = 3, ya = 6, yb = 10; произведение площадей противоположных прямоугольников равно, поэтому площадь четвёртого равна 3 · 10 / 6 = 5.
Ответ: 5.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона , . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет площадь треугольника и связь синуса угла с высотой. По отметкам на рисунке AB = BC = 39, значит треугольник равнобедренный с основанием AC, а ∠A = ∠C. Из sin A = 12/13 следует cos A = 5/13, поэтому высота из B к AC равна 39 · 12/13 = 36, а половина основания — 39 · 5/13 = 15. Площадь равна (30 · 36)/2 = 540. Ответ: 540.

В треугольнике известно, что биссектриса. Найдите длину отрезка
Проверяется длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике. Биссектриса угла 120° делит его пополам, поэтому угол ABK равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABK гипотенуза AB = 20, а BK = 20 · cos 60° = 10.
Ответ: 10.
| В окружности с центром отрезки и диаметры. Центральный угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах. |
|
Задание проверяет свойства центральных и вписанных углов в окружности.
Так как BD — диаметр, лучи OB и OD противоположны, поэтому ∠AOB = 180° − 136° = 44°. Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу AB и равен половине центрального: 44° / 2 = 22°.
Ответ: 22.

В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Задание проверяет площадь прямоугольного треугольника и связь тангенса угла с катетами. Так как ∠C = 90°, tg B = AC/BC = 9/16, поэтому AC = 32 · 9/16 = 18.
Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC / 2 = 18 · 32 / 2 = 288.
Ответ: 288.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона , . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, определение синуса и формулу площади.
Проведём высоту BH к основанию AC: она делит основание пополам.
В прямоугольном треугольнике ABH высота BH = AB · sin A = 82 · 9/41 = 18.
По теореме Пифагора AH = √(82² − 18²) = 80, поэтому AC = 160.
Площадь равна S = AC · BH/2 = 160 · 18/2 = 1440 квадратных единиц.
Ответ: 1440.

В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике и формулу площади.
Так как tg B = AC/BC = 0,6, получаем AC = 0,6 · 20 = 12. Площадь равна AC · BC / 2 = 12 · 20 / 2 = 120.
Ответ: 120.