Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет определение тангенса и формулу площади прямоугольного треугольника.

Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg B = AC/BC = 5/9.

Поэтому AC = 36 · 5/9 = 20.

Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC/2 = 20 · 36/2 = 360.

Ответ: 360.

Проверяется применение биссектрисы и свойств равнобедренного треугольника. Так как AB = BC = 28 и угол ABC равен 120°, биссектриса BK делит его на два угла по 60°. В прямоугольном треугольнике ABK гипотенуза AB равна 28, поэтому BK = 28 · cos 60° = 14.

Ответ: 14.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Так как AB = BC = 25, медиана BM к основанию AC делит его пополам: AM = 14 : 2 = 7.

Треугольник ABM прямоугольный, поэтому BM² = AB² − AM² = 25² − 7² = 576. Значит, BM = 24.

Ответ: 24.

Проверяется применение свойств равнобедренного треугольника и тангенса острого угла. Медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный и BM = 16. Из tg A = BM/AM = 8/15 получаем AM = 16 · 15/8 = 30. Тогда боковая сторона AB = √(16² + 30²) = √1156 = 34.

Ответ: 34.

Проверяется нахождение площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Боковые стороны AB и BC равны 30, а угол A равен одному из углов при основании. Поэтому угол C тоже равен A, и sin C = 4/5. Тогда S(ABC) = (1/2) · AB · BC · sin B; поскольку B = 180° − 2A, sin B = sin 2A = 2 · (4/5) · (3/5) = 24/25. Получаем S = (1/2) · 30 · 30 · 24/25 = 432.

Ответ: 432.

Задание проверяет формулу площади параллелограмма.

Площадь равна произведению стороны на проведённую к ней высоту: S = a · h.

Используя меньшую сторону, получаем S = 20 · 78 = 1560 кв. ед.

Высота к большей стороне равна h = S/130 = 1560/130 = 12 ед.

Ответ: 12.

Задание проверяет свойства медианы и высоты, а также теорему Пифагора. Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому MC = 12 / 2 = 6. В прямоугольном треугольнике BHM гипотенуза BM равна BC; поскольку M лежит между A и H, получаем BC² = BH² + HC², а BM² = BH² + HM². Равенство BM = BC даёт HC = HM; из AC = 12 следует AH = 9.

Ответ: 9.

Проверяется свойство внешнего угла треугольника и сумма его углов. Так как AC = BC, треугольник равнобедренный, и углы при A и B равны.

Внутренний угол B смежен с внешним углом 172°, значит он равен 180° − 172° = 8°. Тогда угол A тоже равен 8°, а угол C равен 180° − 8° − 8° = 164°.

Ответ: 164.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади треугольника. Гипотенуза равна √(15² + 20²) = 25. Площадь можно выразить двумя способами: (15 · 20) / 2 = (25 · h) / 2, откуда высота h = 15 · 20 / 25 = 12. Ответ: 12.

Проверяется применение тригонометрии в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол B равен 180° − 120° = 60°, а угол C равен 90°, поэтому угол A равен 30°. В прямоугольном треугольнике AB — гипотенуза длиной 40, а BC лежит напротив угла 30°. Следовательно, BC = 40 · sin 30° = 20.

Ответ: 20

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади треугольника.

Гипотенуза равна √(14² + 48²) = 50. Приравняем площади: 14 · 48 / 2 = 50 · h / 2, откуда h = 14 · 48 / 50 = 13,44.

Ответ: 13,44.

Проверяет: свойства равнобедренного треугольника и внешнего угла.

Из AC = BC следует, что углы A и B равны. Внутренний угол B смежен с внешним, поэтому ∠B = 180° − 163° = 17°. Тогда ∠A = 17°, а ∠C = 180° − 17° − 17° = 146°.

Ответ: 146.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и определение косинуса. Поскольку ∠C = 90°, гипотенуза AB = 8, а cos B = BC/AB.

По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 64 − (2√15)² = 64 − 60 = 4, поэтому BC = 2.

Тогда cos B = 2/8 = 0,25. Ответ: 0,25.

Задание проверяет определение тангенса острого угла и теорему Пифагора.

Так как угол C прямой, tg A = BC / AC = 15 / 8. При BC = 45 получаем AC = 45 · 8 / 15 = 24. Тогда AB = √(24² + 45²) = 51.

Ответ: 51.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠A = ∠C = 120°/2 = 60°. Соседние углы дополняют друг друга до 180°, значит ∠B = 120°. Диагонали перпендикулярны, следовательно, этот параллелограмм — ромб, и AB = AD = 21. В треугольнике ABD две стороны равны, а угол между ними равен 60°, поэтому треугольник равносторонний и BD = 21.

Ответ: 21.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому BK и KC равны, а в прямоугольном треугольнике BKC: KC² = 25² − 7² = 576, откуда KC = 24.

MN соединяет середины боковых сторон, значит это средняя линия: MN = AC / 2 = KC = 24.

Ответ: 24.

Проверяется применение теоремы Пифагора и свойств медианы. Так как BC = BM, треугольник BMC равнобедренный, а BM = BC = x. Поскольку BM — медиана, MC = AC/2 = 36,5.

Из прямоугольного треугольника BMH: x² = BH² + MH², а из BHC: x² = BH² + HC². Следовательно, MH = HC, и AH = AC/2 + MH = 36,5 + 18,25 = 54,75.

Ответ: 54,75.