Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Разность оснований равна 50 − 14 = 36, поэтому каждый боковой отрезок у основания равен 18.

По теореме Пифагора высота трапеции равна √(30² − 18²) = 24. Горизонтальная проекция диагонали равна 18 + 14 = 32.

Тогда диагональ равна √(24² + 32²) = 40.

Ответ: 40.

Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Гипотенуза равна √(6² + 8²) = 10. Наибольшая средняя линия параллельна гипотенузе и равна половине её длины: 10/2 = 5. Ответ: 5.

Задание проверяет свойство вписанных углов окружности.

Углы DBC и DAC опираются на одну дугу DC, поэтому ∠DBC = ∠DAC = 32°.

Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Следовательно, ∠ABC = 16° + 32° = 48°.

Ответ: 48.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию в прямоугольном треугольнике.

Высота BK, проведённая к основанию, является биссектрисой, поэтому ∠ABK = 120°/2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABK имеем cos 60° = BK/AB = 1/2.

Следовательно, AB = 2 · 53 = 106 ед. длины.

Ответ: 106.

Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому сумма 120° относится к двум противоположным углам: каждый из них равен 60°.

Сторона равна 104 / 4 = 26. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов; она равна стороне, так как образует с ней равносторонний треугольник при угле 60°.

Ответ: 26.

Задание проверяет косинус угла прямоугольного треугольника и его площадь. cos B = BC : AB = 40 : 41, поэтому при AB = 82 получаем BC = 80. По теореме Пифагора AC = √(82² − 80²) = 18. Площадь равна половине произведения катетов: 80 · 18 : 2 = 720. Ответ: 720.

Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Из площади получаем AD = 160/12 = 40/3. Для угла CAD тангенс равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD: tg CAD = 12/(40/3) = 0,9. Ответ: 0,9.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тангенс угла. Медиана к основанию является высотой и делит основание пополам. Если половина основания равна x, то tg A = 9 / x = 3 / 4, откуда x = 12. Боковая сторона равна √(9² + 12²) = 15. Ответ: 15.

Задание проверяет знание формул площадей квадрата и ромба.

Площадь квадрата S = a², поэтому квадрат общей стороны равен 64.

Площадь ромба S = a² · sin 30° = 64 · 0,5 = 32 кв. ед.

Ответ: 32.

Проверяется связь косинуса угла с прилежащим катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. cos A = AC : AB, значит AC = 40 · 0,8 = 32. По теореме Пифагора BC = √(40² − 32²) = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и вычисление его площади.

Проведём высоту BH к основанию AC: она делит основание пополам, поэтому AH = 18/2 = 9 ед.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH высота BH = √(41² − 9²) = √1600 = 40 ед.

Площадь равна половине произведения основания на высоту: S = AC · BH/2 = 18 · 40/2 = 360 кв. ед.

Ответ: 360.

Задание проверяет признак прямоугольника, теорему Пифагора и формулу площади.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

В прямоугольном треугольнике ABC сторона BC = √(AC² − AB²) = √(10² − 6²) = 8 ед. длины.

Площадь прямоугольника S = AB · BC = 6 · 8 = 48 кв. ед.

Ответ: 48.

Задание проверяет свойства правильного многоугольника и вписанного угла.

Вершины правильного девятиугольника делят описанную окружность на девять равных дуг по 360°/9 = 40°.

Дуга CF, не содержащая A, состоит из трёх таких дуг: CD, DE и EF, поэтому её градусная мера равна 3 · 40° = 120°.

Вписанный угол CAF равен половине этой дуги: ∠CAF = 120°/2 = 60°.

Ответ: 60.

Задание проверяет свойства углов ромба и его диагоналей. Смежные углы ромба в сумме дают 180°, поэтому два угла, сумма которых равна 240°, — тупые, и каждый равен 120°. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов; она образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, поэтому сторона ромба равна 27. Периметр равен 4 · 27 = 108.

Ответ: 108.

Проверяется: синус острого угла в прямоугольном треугольнике и высота к гипотенузе.

sin A = BC : AB = 0,75, поэтому AB = 12 : 0,75 = 16. По свойству катета, BH = BC² : AB = 12² : 16 = 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет нахождение площади трапеции. Высота равна 6 · sin 150° = 3. Площадь: (7 + 19) · 3 / 2 = 39. Ответ: 39.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и формулу его площади.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому половина известной диагонали равна 6.

Сторона ромба служит гипотенузой прямоугольного треугольника, значит, половина второй диагонали равна √(10² − 6²) = √64 = 8.

Вторая диагональ равна 16, а площадь S = d₁ · d₂ / 2 = 12 · 16 / 2 = 96 квадратных единиц.

Ответ: 96.

Задание проверяет углы при параллельных прямых и сумму углов треугольника. По рисунку угол 1 равен углу между наклонными прямыми сверху, то есть 32°. Тогда угол 3 — третий угол треугольника: 180° − 32° − 77° = 71°. Ответ: 71.

Поскольку AB — диаметр, угол ACB прямой. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна двум радиусам: 10. Для угла BAC косинус равен прилежащему катету AC, делённому на гипотенузу: cos ∠BAC = 6/10 = 0,6.

Ответ: 0,6.