Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48
и 64. Найдите периметр параллелограмма.
Задание проверяет свойства диагоналей параллелограмма и равнобедренного прямоугольного треугольника.
Диагонали биссектрисы углов параллелограмма — значит, это ромб: его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Их половины равны 24 и 32, поэтому сторона равна √(24² + 32²) = 40.
Периметр равен 4 · 40 = 160.
Ответ: 160.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма, диагонали которого являются биссектрисами углов.
Такой параллелограмм является ромбом: его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали AC равна 56/2 = 28, а сторона ромба AB равна 35.
Половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник. Половина BD равна √(35² − 28²) = 21, поэтому BD = 2 · 21 = 42.
Ответ: 42.
На окружности отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите радиус окружности.
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр. Угол ACB прямой, поэтому AB = √(AC² + BC²) = √(10² + 24²) = √676 = 26. Радиус равен половине диаметра: 26 : 2 = 13.
Ответ: 13.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Сумма двух углов ромба равна , а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Проверяются свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны, значит углы равны 60° и 120°. Периметр 68, поэтому сторона равна 68 / 4 = 17. Меньшая диагональ, лежащая напротив угла 60°, равна стороне ромба: она образует с двумя сторонами равносторонний треугольник.
Ответ: 17.
В ромбе диагональ , сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет свойства ромба и тангенс угла прямоугольного треугольника. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина AC равна 8. В прямоугольном треугольнике ABC второй катет равен √((2√17)² − 8²) = √(68 − 64) = 2. Значит, tg BAC = 2/8 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Площадь прямоугольника равна 400, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет свойства прямоугольника и тангенс угла прямоугольного треугольника. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит CD = AB = 10. Из площади получаем AD = 400/10 = 40.
Так как AD ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный. Для угла CAD тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg(CAD) = CD/AD = 10/40 = 0,25.
Ответ: 0,25.
| В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен . Найдите меньшую боковую сторону. |
|
Проверяется нахождение сторон прямоугольной трапеции. Разность оснований равна 5 − 3 = 2, а угол 135° означает, что острый угол при наклонной стороне равен 45°.
Образованный наклонной стороной прямоугольный треугольник имеет угол 45°, поэтому его катеты равны. Высота трапеции равна разности оснований, то есть 2; это меньшая боковая сторона.
Ответ: 2.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство радиуса, проведённого в точку касания, и связь углов при пересечении прямых.
Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B равны 90°. Тогда ∠AOB = 360° − 140° − 90° − 90° = 40°.
Ответ: 40.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 49. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника. Угол при вершине B равен 120°, поэтому два угла при основании равны и составляют (180° − 120°)/2 = 30°. Высота BK к основанию образует прямоугольный треугольник ABK, где ∠ABK = 60°. Сторона AB — гипотенуза, а BK = 49 — прилежащий катет: cos 60° = 49/AB = 1/2. Значит, AB = 98.
Ответ: 98.
В треугольнике угол равен , . Внешний угол при вершине равен . Найдите .
Задание проверяет углы треугольника и теорему Пифагора. Внутренний угол B равен 180° − 120° = 60°, а угол C равен 90°, значит угол A равен 30°. В прямоугольном треугольнике катет BC, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB: BC = 12 / 2 = 6.
Ответ: 6.
| В треугольнике известно, что Найдите длину медианы |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Медиана делит основание пополам: AM = 16 / 2 = 8. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM² = 17² − 8² = 225, поэтому BM = 15.
Ответ: 15.
Площадь прямоугольника равна 120, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса.
Площадь равна произведению соседних сторон: S = AB · AD, поэтому AD = 120/6 = 20 ед. длины.
В прямоугольном треугольнике ACD противолежащий углу CAD катет CD = AB = 6 ед. длины, а прилежащий катет AD = 20 ед. длины.
Следовательно, tg CAD = CD/AD = 6/20 = 0,3.
Ответ: 0,3.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 31. Найдите боковую сторону треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника с углом 30°. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является высотой. В прямоугольном треугольнике ABM катет BM лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза AB = 2 · 31 = 62 единицы длины. Ответ: 62.
| В прямоугольной трапеции с основаниями и угол прямой, , (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции. |
|
Задание проверяет свойства прямоугольной трапеции и теорему Пифагора.
Проведём из C высоту CH к основанию AD: CH = AB = 12, AH = BC = 15.
В прямоугольном треугольнике CHD получаем HD = √(15² − 12²) = 9, поэтому AD = 15 + 9 = 24.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (15 + 24)/2 = 19,5.
Ответ: 19,5.
| В треугольнике сторона , |
|
Задание проверяет свойства медианы и высоты в треугольнике. Поскольку M — середина AC и AC = 10, AM = MC = 5. Из рисунка H лежит на MC, а BH перпендикулярна AC; так как BC = BM, треугольник BMC равнобедренный, и высота BH к основанию MC делит его пополам. Поэтому MH = HC = 2,5, а AH = AM + MH = 5 + 2,5 = 7,5. Ответ: 7,5.
В ромбе диагональ , сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяем свойства ромба и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому в треугольнике AOB гипотенуза AB = 10, катет AO = AC/2 = 8, а второй катет BO = BD/2.
(BD/2)² = 10² − 8² = 36, значит, BD/2 = 6. Тогда tg BAC = BO/AO = 6/8 = 0,75.
Ответ: 0,75.
В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Так как ∠C = 90°, то cos A = AC/AB = 0,25, а BC/AB = sin A. Из cos A = 1/4 получаем sin A = √(1 − 1/16) = √15/4, поэтому AB = 12 ÷ (√15/4) = 48/√15.
Высота CH к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: CH = AC·BC/AB = 12·(1/4) = 3.
Ответ: 3.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 40. Найдите боковую сторону треугольника .
Проверяется связь внешнего и внутреннего углов треугольника и теорема Пифагора. Угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной боковой стороне, sin 30° = 40 / AB. Так как sin 30° = 0,5, получаем AB = 80. Ответ: 80.
В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике и вычисление площади. Так как tg B = AC/BC = 7/24, при BC = 48 получаем AC = 14. Тогда площадь равна AC · BC / 2 = 14 · 48 / 2 = 336.
Ответ: 336
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Катет . Найдите гипотенузу .
Задание проверяет связь внешнего угла треугольника с внутренним и тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а гипотенуза AB лежит напротив прямого угла. Поэтому cos A = AC : AB, откуда AB = 28 : cos 60° = 28 : 0,5 = 56.
Ответ: 56.
