Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет среднюю линию треугольника и теорему Пифагора. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому соответствующая сторона равна 2 · 10 = 20.

Эта сторона не может быть катетом длины 21, значит второй катет равен 20. Гипотенуза равна √(21² + 20²) = √841 = 29.

Ответ: 29.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы к основанию. Внешний угол при основании равен 150°, поэтому внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°.

Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой, поэтому образуется прямоугольный треугольник с углом 30° и гипотенузой — боковой стороной. Эта сторона вдвое больше противолежащего катета-медианы: 2 · 34 = 68.

Ответ: 68.

Проверяются углы при параллельных прямых и свойства смежных углов. По рисунку ∠1, ∠2 и ∠3 — углы треугольника, образованного секущими и прямой n; угол при пересечении секущих вертикален ∠1 и равен 16°. Тогда ∠3 = 180° − 16° − 71° = 93°.

Ответ: 93.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высота к основанию AC равна 2 · 168 / 48 = 7. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам, поэтому половина основания равна 24. По теореме Пифагора боковая сторона равна √(24² + 7²) = √625 = 25. Ответ: 25.

Задание проверяет свойства окружности и вписанного угла. Дуга составляет 5/36 окружности, значит, соответствующий центральный угол равен 360° · 5/36 = 50°. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: 50° / 2 = 25°.

Ответ: 25.

Проверяется применение тангенса в прямоугольном треугольнике и вычисление площади. Высота равнобедренного треугольника делит основание 32 пополам, поэтому половина основания равна 16. Из tg A = высота / 16 = 5/4 получаем высоту 20. Площадь равна 32 · 20 / 2 = 320.

Ответ: 320.

Задание проверяет свойства параллелограмма и теорему Пифагора. Диагонали параллелограмма делятся пополам и равны, значит, их половины равны 20,5.

Стороны параллелограмма и половины диагоналей образуют треугольник. Для его сторон выполняется закон параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.

Пусть другая сторона равна x. Тогда 2 · 41² = 2 · (40² + x²), откуда x² = 81 и x = 9.

Ответ: 9.

Проверяется вычисление углов между стрелками часов.

Циферблат разделён на 12 равных частей, поэтому между соседними делениями 360° / 12 = 30°. В 7:00 стрелки разделены пятью делениями по меньшему углу: 5 · 30° = 150°.

Ответ: 150.

Проверяется связь тангенса угла прямоугольного треугольника с отношением противолежащего и прилежащего катетов. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам, а tg(A) = 6 / (AC / 2) = 1,2.

Отсюда AC / 2 = 5, основание AC = 10. Площадь равна 10 · 6 / 2 = 30.

Ответ: 30.

Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника. Биссектриса AL делит угол A пополам; в треугольнике ABL угол ALB смежный с углом ALC, поэтому ∠ALB = 180° − 121° = 59°. Тогда половина угла A равна 180° − 101° − 59° = 20°, значит ∠A = 40°. Следовательно, ∠ACB = 180° − 101° − 40° = 39°. Ответ: 39.

Используем площадь прямоугольника: AB = 490 : 35 = 14. В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD. Здесь CD = AB = 14, а AD = BC = 35, поэтому tg CAD = 14 : 35 = 0,4.

Ответ: 0,4

Проверяются свойства вписанного четырёхугольника и вписанных углов. Противоположные углы в нём supplementary: ∠ADC = 180° − 92° = 88°. В треугольнике ACD получаем ∠ACD = 180° − 60° − 88° = 32°. Углы ACD и ABD опираются на одну хорду AD, поэтому равны.

Ответ: 32°.

Задача проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому два угла с суммой 240° не соседние, а противоположные; они равны, значит каждый равен 120°.

Меньшая диагональ соединяет вершины с углами 120° и делится другой диагональю пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике половина этой диагонали равна 7, а угол при вершине ромба равен 60°. Тогда сторона ромба равна 7 / cos 60° = 14, а периметр равен 4 · 14 = 56.

Ответ: 56.

Проверяется тангенс угла в прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями ромба. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: 240 = 40 · BD / 2, поэтому BD = 12.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит у прямоугольного треугольника с углом BAC катеты равны 20 и 6. Тогда tg(BAC) = 6 / 20 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Проверяется тема планиметрии: свойства равнобедренного треугольника и биссектриса. Биссектриса BK делит угол 120° пополам, значит ∠ABK = 60°. В треугольнике ABK угол A равен 30°, а AB = 12 — гипотенуза. Катет BK, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: BK = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет косинус острого угла и теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике. Так как ∠C = 90°, AB — гипотенуза, а cos A = AC/AB.

AC = 51 · 15/17 = 45. Тогда BC = √(AB² − AC²) = √(51² − 45²) = √576 = 24. Ответ: 24.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и вычисление длины по теореме Пифагора. Медиана к основанию является высотой, поэтому получается прямоугольный треугольник с катетами 15 и h.

Так как tg A = 15/8 = h/((AC)/2), то (AC)/2 = 8. Боковая сторона равна √(15² + 8²) = √289 = 17.

Ответ: 17.

Задание проверяет связь длины дуги с центральным углом.

Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам.

Большей дуге соответствует угол 360° − 36° = 324°.

Её длина равна 6 · 324/36 = 54 ед. длины.

Ответ: 54.

Задание проверяет теорему Пифагора и определение косинуса острого угла.

При прямом угле C сторона AB — гипотенуза, а BC — прилежащий к углу B катет.

По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(16 − 7) = 3 ед.

Следовательно, cos B = BC/AB = 3/4 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника.

Меньший катет равен √(29² − 21²) = √(841 − 441) = √400 = 20 ед. длины.

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.

Наименьшая средняя линия параллельна меньшему катету и равна 20/2 = 10 ед. длины.

Ответ: 10.