Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Сторона ромба равна 17, одна из его диагоналей равна 16. Найдите площадь ромба.
Проверяется нахождение площади ромба по его стороне и диагонали.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина второй диагонали равна √(17² − 8²) = 15, значит, вторая диагональ равна 30. Площадь ромба равна произведению диагоналей, делённому на 2: 16 · 30 / 2 = 240.
Ответ: 240.
Площадь прямоугольника равна 600, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Из площади 600 и стороны BC = 40 получаем CD = 600/40 = 15. В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD/AD, причём AD = BC = 40. Поэтому tg(CAD) = 15/40 = 0,375.
Ответ: 0,375.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 13. Найдите длину большей дуги.
Проверяется знание длины дуги окружности: длины дуг относятся как соответствующие центральные углы. Большая дуга стягивается углом 360° − 39° = 321°.
Её длина равна 13 · 321 / 39 = 107.
Ответ: 107.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Так как AB — диаметр, вписанный угол ACB прямой. Угол COB равен 120°, значит смежный с ним угол AOC равен 60°.
Хорда AC лежит напротив угла 60° в равнобедренном треугольнике AOC с радиусами OA и OC. Поэтому AC равна радиусу, и радиус окружности равен 24.
Диаметр равен удвоенному радиусу: 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
В прямоугольном треугольнике cos A = AC : AB = 0,6, а BC = 10 — катет напротив угла A.
Поскольку sin A = 0,8, получаем sin A = BC : AB, откуда AB = 10 : 0,8 = 12,5. Тогда AC = 0,6 · 12,5 = 7,5.
Площадь треугольника можно выразить как AC · BC : 2 и как AB · CH : 2. Следовательно, CH = AC · BC : AB = 7,5 · 10 : 12,5 = 6.
Ответ: 6.
В прямоугольнике сторона равна 21, . Найдите площадь прямоугольника.
| В трапеции известно, что |
|
Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника.
Боковые стороны AB и CD равны, поэтому трапеция равнобедренная и углы при основании AD равны.
Диагональ BD делит угол ADC на два угла: ∠ADC = 54° + 23° = 77°.
Следовательно, ∠BAD = 77°.
В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 77° − 54° = 49°.
Ответ: 49.
В равнобедренном треугольнике медиана , боковая сторона . Найдите длину отрезка , если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
Медиана BK делит основание AC пополам. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC равна 34, а катет BK равен 16, поэтому KC = √(34² − 16²) = 30.
Тогда AC = 2 · 30 = 60. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, значит это средняя линия треугольника и MN = AC / 2 = 30.
Ответ: 30.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет свойства периметров прямоугольников, составленных из общих сторон.
Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхнего и нижнего рядов через c и d. Тогда суммы периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равны 2(a+c)+2(b+d), то есть периметру исходного прямоугольника; для двух остальных прямоугольников сумма такая же. Поэтому периметр неизвестного прямоугольника равен 24+16−28=12.
Ответ: 12.
В ромбе диагональ , площадь ромба равна 144. Найдите тангенс угла .
Проверяется связь площади ромба с диагоналями и тангенсом угла. По формуле площади S = AC · BD / 2 получаем BD = 2 · 144 / 24 = 12. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому для угла BAC тангенс равен (12 / 2) / (24 / 2) = 0,5.
Ответ: 0,5.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. По рисунку прямой угол при C, поэтому AB — гипотенуза. Внутренний угол A смежен с внешним: ∠A = 180° − 150° = 30°. Тогда BC = AB · sin 30° = 17 · 0,5 = 8,5.
Ответ: 8,5.
В выпуклом четырехугольнике известно, что , , , . Найдите
угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника. Проведём диагональ AC: она разделяет выпуклый четырёхугольник на два равнобедренных треугольника. В треугольнике ABC угол BAC равен (180° − 54°)/2 = 63°. В треугольнике ADC угол CAD равен (180° − 92°)/2 = 44°. Поэтому угол A равен 63° + 44° = 107°. Ответ: 107.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма, диагоналей ромба и теорему Пифагора.
Если обе диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм — ромб. Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Половина AC равна 24, а половина BD вместе с ней и стороной AB = 25 образует прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора: (BD / 2)² = 25² − 24² = 49, поэтому BD / 2 = 7 и BD = 14.
Ответ: 14.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 4. Найдите длину большей дуги.
Длины дуг одной окружности относятся как соответствующие центральные углы.
Меньшей дуге соответствует угол 2°, а большей — 358°. Поэтому длина большей дуги равна 4 · 358 : 2 = 716.
Ответ: 716.
В треугольнике угол равен , сторона равна 32. Тангенс угла равен . Найдите длину стороны .
Проверяется применение тангенса и теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике.
tg A = BC/AC = 8/15; при BC = 32 получаем AC = 32 · 15/8 = 60.
Тогда AB = √(AC² + BC²) = √(60² + 32²) = √4624 = 68.
Ответ: 68.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства параллелограмма и равнобедренного треугольника. Обозначим точку пересечения диагоналей через O: диагонали параллелограмма делятся этой точкой пополам, поэтому CO = AC/2 = AB. Противоположные стороны равны, значит CD = AB = CO, и треугольник COD равнобедренный. Его угол OCD равен 77°, поэтому ∠COD = (180° − 77°)/2 = 51,5°. Это острый угол между диагоналями. Ответ: 51,5.
В выпуклом четырехугольнике известно, что , , , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Используем равенство сторон, чтобы связать углы четырёхугольника.
Из AB = BC и AD = CD следует, что BD — ось симметрии, поэтому ∠A = ∠C.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°: 2∠A = 360° − 169° − 175° = 16°.
∠A = 8°.
Ответ: 8.
В треугольнике проведена медиана
на стороне взята точка так, что Площадь треугольника равна 30. Найдите площадь треугольника
Проверяется связь площадей треугольников с общей высотой. Так как BM — медиана, AM = MC, поэтому площадь треугольника ABM равна половине площади ABC. У треугольников AMK и ABM общая высота к прямой AB, а AK = AB/3, значит их площади относятся как 1 : 3. Тогда площадь ABM равна 30 · 3 = 90, а площадь ABC — 90 · 2 = 180.
Ответ: 180.
В равнобедренном треугольнике угол равен Высота проведённая к основанию, равна 14. Найдите длину боковой стороны
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника. Высота к основанию делит угол при вершине пополам, поэтому в получившемся прямоугольном треугольнике угол при вершине равен 60°.
Боковая сторона — гипотенуза, а высота 14 — катет напротив угла 30°. Поэтому боковая сторона равна 14 / sin 30° = 28.
Ответ: 28.
| В треугольнике известно, что , медиана равна 2. Площадь треугольника равна . Найдите длину стороны . |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, медианы и формулу площади. В равнобедренном треугольнике с AB = BC медиана BM к основанию AC является также высотой и делит основание пополам. Из площади 2√21 = AC · 2 / 2 получаем AC = 2√21, поэтому AM = √21. По теореме Пифагора AB² = BM² + AM² = 2² + (√21)² = 25. Значит, AB = 5. Ответ: 5.
