Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
На прямой отмечена точка . Луч биссектриса угла . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет смежные углы и свойство биссектрисы. Лучи MA и MB противоположны, поэтому ∠CMB = 180° − 148° = 32°. Луч MD делит этот угол пополам, значит, ∠DMB = 32° : 2 = 16°.
Ответ: 16.
В треугольнике известно, что , , внешний угол при вершине
равен . Найдите .
Задание проверяет внешний угол треугольника и теорему косинусов. Внутренний угол C равен 180° − 120° = 60°.
По теореме косинусов AB² = AC² + BC² − 2·AC·BC·cos C = (3√7)² + (√7)² − 2·3√7·√7·cos 60° = 63 + 7 − 21 = 49.
Значит, AB = 7. Ответ: 7.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей прямоугольников, образованных разрезами. Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхней и нижней строк — через c и d. Тогда ac = 15, bc = 12, bd = 24. Поэтому площадь искомого прямоугольника ad = (ac · bd) : bc = (15 · 24) : 12 = 30.
Ответ: 30.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 2, а . Найдите площадь треугольника .
Площадь прямоугольника равна 700, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и тангенса острого угла.
По формуле площади AB · BC = 700, поэтому AB = 700/50 = 14.
В прямоугольном треугольнике ACD катеты CD = AB = 14 и AD = BC = 50.
Тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg ∠CAD = CD/AD = 14/50 = 0,28.
Ответ: 0,28.
В прямоугольнике сторона равна 48, Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь прямоугольника. В треугольнике ACD tg ∠CAD = CD / AD = 5 / 16. Так как BC = 48, то AD = 48, а CD = 48 · 5 / 16 = 15.
Площадь прямоугольника равна AD · CD = 48 · 15 = 720.
Ответ: 720.
В треугольнике сторона ,
медиана, высота, . Найдите длину отрезка .
В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства биссектрисы, смежных углов и сумму углов треугольника.
Точки B, L и C лежат на одной прямой, поэтому ∠ALB = 180° − 48° = 132°.
В треугольнике ABL угол BAL равен 180° − 132° − 41° = 7°.
Поскольку AL — биссектриса, ∠BAC = 2 · 7° = 14°.
Тогда ∠ACB = 180° − 41° − 14° = 125°.
Ответ: 125.
Сумма двух углов ромба равна , а его периметр равен 128. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Задание проверяет свойства ромба и длину его диагоналей. Периметр равен 128, поэтому сторона равна 128 : 4 = 32. Сумма двух углов 120° означает, что это два меньших угла по 60°; диагональ, соединяющая их вершины, равна стороне. Тогда меньшая диагональ равна 32. Ответ: 32.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен Гипотенуза Найдите длину катета
Задание проверяет внешний угол треугольника и синус острого угла прямоугольного треугольника.
Внутренний угол A смежный с внешним, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°. По рисунку прямой угол находится при C, значит AB — гипотенуза, а BC лежит напротив угла A.
Тогда sin 30° = BC/AB, откуда BC = 20 · 0,5 = 10.
Ответ: 10.
Стороны параллелограмма равны 4 и 8. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Проверяется площадь параллелограмма и связь площади с основанием и высотой.
Площадь равна 4 · 6 = 24. Для большей стороны 8 высота равна 24 : 8 = 3.
Ответ: 3.
На окружности отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите радиус окружности.
Проверяется свойство вписанного в окружность прямоугольного треугольника и теорема Пифагора.
Так как AB — диаметр, угол ACB прямой. Тогда AB² = AC² + BC² = 11² + 60² = 3721, поэтому AB = 61. Радиус равен половине диаметра: 61 : 2 = 30,5.
Ответ: 30,5.
| В треугольнике угол равен , высота, , . Найдите длину отрезка . |
|
Задание проверяет определение синуса и свойства углов прямоугольного треугольника.
В треугольнике ABC sin A = BC/AB, поэтому AB = 5/0,2 = 25.
Угол BCH равен углу A, поскольку каждый из них дополняет угол B до 90°.
В прямоугольном треугольнике BCH sin A = BH/BC, поэтому BH = 5 · 0,2 = 1 единица длины.
Ответ: 1.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма. Если его диагонали делят углы пополам, то параллелограмм является ромбом, поэтому все его стороны равны 61.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Их половины с двумя сторонами образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 61, а половина диагонали AC равна 120/2 = 60. Тогда половина BD равна √(61² − 60²) = 11, значит, BD = 22.
Ответ: 22.
В прямоугольнике сторона равна 21, Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс угла в прямоугольнике и вычисление площади. В прямоугольнике CD = AB = 21. Для угла CAD катет CD — противоположный, а AD — прилежащий, поэтому tg ∠CAD = CD / AD = 0,7. Отсюда AD = 21 / 0,7 = 30. Площадь прямоугольника равна 21 · 30 = 630.
Ответ: 630
В окружности с центром отрезки и диаметры. Центральный угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства центральных и вписанных углов. Так как AC — диаметр, лучи OA и OC противоположны, поэтому ∠AOC = 180°.
Тогда ∠COD = 180° − 160° = 20°. Диаметры AC и BD задают вертикальные углы, значит ∠AOB = ∠COD = 20°.
Угол ACB опирается на дугу AB, поэтому он равен половине центрального угла AOB: 20° / 2 = 10°.
Ответ: 10.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Найдите площадь ромба, если его высота равна 8,
а острый угол равен .
Задание проверяет площадь ромба и соотношения в прямоугольном треугольнике. Если сторона ромба равна a, его высота равна a · sin 30° = a/2. Значит, a/2 = 8, откуда a = 16. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: 16 · 8 = 128.
Ответ: 128.
В параллелограмме проведена биссектриса угла , пересекающая сторону в точке . Найдите , если , а периметр параллелограмма равен 22.
Периметр равен 22, а AB = 5, поэтому BC = 6. Так как AK — биссектриса угла A и AD параллельна BC, углы BAK и AKB равны. Значит, треугольник ABK равнобедренный и BK = AB = 5. Тогда KC = BC − BK = 6 − 5 = 1.
Ответ: 1.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 7, а . Найдите площадь треугольника .
Проверяется вычисление площади равнобедренного треугольника с помощью тангенса.
Высота к основанию делит его пополам. В одном из получившихся прямоугольных треугольников tg A = 7/(AC/2) = 0,1, откуда AC/2 = 70 и основание AC = 140.
Площадь равна 140 · 7/2 = 490.
Ответ: 490.
