Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В параллелограмме известно, что , . Найдите площадь параллелограмма.
Задание проверяет свойства параллелограмма и теорему Пифагора. Равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Его диагональ равна 34, а сторона AB равна 16, поэтому другая сторона равна √(34² − 16²) = 30. Площадь равна 16 · 30 = 480.
Ответ: 480
| Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции. |
|
Задание проверяет вычисление площади трапеции через её высоту.
Угол между боковой стороной и направлением основания, образующий острый угол в прямоугольном треугольнике, равен 180° − 150° = 30°.
Высота равна h = 6 · sin 30° = 6 · 0,5 = 3 ед.
Площадь трапеции S = (8 + 16) · 3 / 2 = 36 кв. ед.
Ответ: 36.
| В треугольнике угол равен , Найдите |
|
Проверяется косинус острого угла прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 100 − 51 = 49, значит, BC = 7.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB. Поэтому cos B = 7 / 10 = 0,7.
Ответ: 0,7.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Проверяется свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и прямоугольный треугольник.
Так как AB — диаметр, угол ACB равен 90°. Центральный угол COB равен 120°, значит, угол AOC равен 180° − 120° = 60°. В равнобедренном треугольнике AOC углы при основании равны, поэтому угол OAC равен 60°.
Треугольник AOC равносторонний, и его сторона AC равна радиусу окружности: 19. Тогда диаметр равен 2 · 19 = 38.
Ответ: 38.
На окружности радиусом 40 отмечена точка Отрезок — диаметр окружности, Найдите
Задание проверяет свойства вписанных углов и определение синуса в прямоугольном треугольнике.
Угол ACB опирается на диаметр, поэтому равен 90°.
Гипотенуза AB равна двум радиусам: AB = 2 · 40 = 80 ед.
Для угла ABC противолежащий катет — AC, поэтому sin ∠ABC = AC/AB = 12/80 = 0,15.
Ответ: 0,15.
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
Найдём высоту трапеции: половина разности оснований равна (104 − 56) / 2 = 24. По теореме Пифагора высота равна √(30² − 24²) = 18. Диагональ образует прямоугольный треугольник с высотой и большей горизонтальной проекцией 56 + 24 = 80, поэтому её длина равна √(80² + 18²) = 82.
Ответ: 82.
В треугольнике известно, что , внешний угол при вершине равен . Найдите длину медианы .
Проверяются углы треугольника и медиана к основанию равнобедренного треугольника. Внутренний угол при C равен 180° − 150° = 30°, поэтому угол A тоже 30°, а угол B равен 120°. Медиана BK делит основание AC пополам и в равнобедренном треугольнике является высотой; в прямоугольном треугольнике BKC угол C равен 30°, гипотенуза BC равна 38, значит BK = 38 · sin 30° = 19.
Ответ: 19.
В ромбе диагональ
диагональ Найдите синус угла
Задание проверяет свойства диагоналей ромба. Они пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, поэтому половины диагоналей равны 3√11 и 1.
В прямоугольном треугольнике с вершиной A угол BAC имеет противолежащий катет 1, а гипотенузу √((3√11)² + 1²) = 10. Значит, sin ∠BAC = 1/10.
Ответ: 0,1.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 17. Найдите длину стороны .
Пусть AB = x. Так как BM — медиана и биссектриса, треугольники ABM и CBM равны, поэтому AB = BC = x и AM = MC.
В равнобедренном треугольнике высота BM делит угол B пополам: ∠ABM = 60°. Тогда в прямоугольном треугольнике ABM сторона BM лежит напротив угла 30°, значит AB = 2BM = 34.
Ответ: 34.
В равнобедренном треугольнике
с основанием медиана ,
отрезок , соединяющий середины боковых сторон, равен 8. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства средней линии и медианы равнобедренного треугольника, а также теорему Пифагора.
Отрезок MN — средняя линия, поэтому AC = 2 · MN = 16 ед. длины.
Медиана BK делит основание пополам, значит AK = 16/2 = 8 ед. длины.
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABK прямоугольный.
По теореме Пифагора AB = √(AK² + BK²) = √(8² + 6²) = 10 ед. длины.
Ответ: 10.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет признаки и свойства ромба, а также теорему Пифагора.
Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, — ромб.
Его диагонали перпендикулярны и точкой пересечения O делятся пополам, поэтому AO = 14/2 = 7 ед. длины.
В прямоугольном треугольнике AOB получаем BO = √(25² − 7²) = √576 = 24 ед. длины.
Тогда BD = 2 · 24 = 48 ед. длины.
Ответ: 48.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 90. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет вычисление площадей треугольника и трапеции. По рисунку основания трапеции — AD = 4 и BC = 2, поэтому 90 = (4 + 2) · h/2 и h = 30. У треугольника ABC основание BC = 2, а высота к нему равна высоте трапеции, значит S(ABC) = 2 · 30/2 = 30. Ответ: 30.
| В треугольнике медиана перпендикулярна Найдите |
|
Проверяется свойство медианы и теорема Пифагора. Так как BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный. M — середина AC, поэтому AM = 150/2 = 75. Тогда AB = √(AM² + BM²) = √(75² + 40²) = 85.
Ответ: 85
В треугольнике сторона ,
медиана, высота, . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет свойства медианы и высоты в равнобедренном треугольнике. Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 100 / 2 = 50.
Из BC = BM следует, что треугольник BMC равнобедренный. Высота BH к основанию MC делит его пополам, значит, MH = 25. Тогда AH = AM + MH = 50 + 25 = 75.
Ответ: 75.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма и перпендикулярных диагоналей.
Сумма противоположных углов равна 120°, поэтому каждый из них равен 60°. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб, у которого все стороны равны, значит BD = AB = 47.
Ответ: 47
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72
и 30. Найдите периметр параллелограмма.
Задание проверяет свойства параллелограмма. Если диагонали являются биссектрисами углов, параллелограмм — ромб, поэтому его периметр равен четырём сторонам ромба.
Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны, значит половины диагоналей равны 36 и 15, а сторона равна √(36² + 15²) = √1521 = 39.
Периметр: 4 · 39 = 156. Ответ: 156.
Катет прямоугольного треугольника равен 8, одна из средних линий равна 3. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора.
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому эта сторона равна 2 · 3 = 6.
Сторона длиной 6 не может быть гипотенузой, поскольку она меньше известного катета 8, значит, это второй катет.
По теореме Пифагора гипотенуза равна √(8² + 6²) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Площадь прямоугольника равна 48, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому AD = BC = 8.
Из равенства S = AD · CD получаем CD = 48/8 = 6 ед.
В прямоугольном треугольнике ACD tg CAD = CD/AD = 6/8 = 0,75.
Ответ: 0,75.
В равнобедренном треугольнике с основанием медиана отрезок соединяющий середины боковых сторон, равен 15. Найдите длину боковой стороны
Задание проверяет свойства средней линии и медианы равнобедренного треугольника, а также теорему Пифагора.
Средняя линия MN равна половине основания AC, поэтому AC = 2 · 15 = 30.
Медиана BK делит основание пополам и является высотой, значит AK = 15 и угол AKB прямой.
По теореме Пифагора AB = √(AK² + BK²) = √(15² + 8²) = √289 = 17 ед.
Ответ: 17.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 22
и 120. Найдите периметр параллелограмма.
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм — ромб. У ромба диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
Половины диагоналей равны 11 и 60, поэтому сторона равна √(11² + 60²) = 61. Периметр: 4 · 61 = 244.
Ответ: 244.
