Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Так как медиана BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный. Медиана делит сторону AC пополам, поэтому AM = 48 : 2 = 24. По теореме Пифагора AB² = AM² + BM² = 24² + 18² = 900, значит AB = 30.

Ответ: 30.

Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, а площадь равна половине произведения диагоналей. Поэтому вторая диагональ равна 2·360/60 = 12, и её половина равна 6. В прямоугольном треугольнике с катетами 30 и 6 тангенс угла BAC равен 6/30 = 0,2. Ответ: 0,2.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла A это BC/AC.

По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 26 − 1 = 25, значит, AC = 5. Тогда tg A = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Проверяется медиана в равнобедренном треугольнике. Она делит основание пополам, поэтому AM = 24 : 2 = 12. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM² = 37² − 12² = 1225, откуда BM = 35.

Ответ: 35.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора. Разность оснований равна 13 − 7 = 6, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 6 : 2 = 3. Высота трапеции — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и вторым катетом 3: h = √(5² − 3²) = 4. Ответ: 4.

Задание проверяет применение формулы площади параллелограмма: S = a · h.

Используя меньшую сторону и проведённую к ней высоту, получаем S = 10 · 48 = 480 кв. ед.

Площадь та же при выборе большей стороны основанием, поэтому высота равна 480 / 80 = 6 ед.

Ответ: 6.

Задание проверяет нахождение стороны прямоугольника по площади и вычисление тангенса.

Сторона AD = S / AB = 600 / 15 = 40 ед., а CD = AB = 15 ед.

В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему катету AD.

Получаем tg ∠CAD = 15 / 40 = 0,375.

Ответ: 0,375.

Проверяется свойство площадей параллелограмма: площадь равна произведению стороны на высоту, опущенную на неё.

Площадь равна 12 · 5 = 60. Для большей стороны высота равна 60 / 15 = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет нахождение высоты по площади и теорему Пифагора. Высота равнобедренного треугольника к основанию делит основание 32 пополам, получая отрезки по 16.

Из формулы площади 192 = 32h/2 получаем h = 12. Боковая сторона равна √(16² + 12²) = √400 = 20.

Ответ: 20.

Задание проверяет свойства радиусов окружности и равностороннего треугольника.

Поскольку AB — диаметр, лучи OA и OB противоположны, поэтому угол AOC равен 180° − 120° = 60°.

В треугольнике AOC радиусы OA и OC равны, значит, углы при основании также равны: (180° − 60°)/2 = 60°.

Треугольник AOC равносторонний, поэтому радиус OA = AC = 21 ед.

Диаметр равен 2 · 21 = 42 ед.

Ответ: 42.

Задание проверяет свойства углов равнобедренного треугольника.

Внутренний и внешний углы при вершине B составляют 180°, поэтому ∠B = 180° − 142° = 38°.

Поскольку AC = BC, углы при основании AB равны: ∠A = ∠B = 38°.

По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 38° − 38° = 104°.

Ответ: 104.

Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника. Обозначим ∠ACB = x. Тогда ∠A = 28° − x, а поскольку AL — биссектриса, ∠LAC = (28° − x)/2.

В треугольнике ALC: ∠LAC + x + 163° = 180°. Поэтому (28° − x)/2 + x = 17°, откуда x = 6°.

Ответ: 6.

Задание проверяет формулу площади параллелограмма S = ah.

По меньшей стороне и проведённой к ней высоте площадь равна S = 10 · 45 = 450 кв. ед.

При выборе большей стороны основанием площадь остаётся той же: 75h = 450.

Искомая высота h = 450/75 = 6 ед.

Ответ: 6.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника. Угол при вершине B равен 120°, значит, углы при основании равны по (180° − 120°) / 2 = 30°. Высота BK делит треугольник пополам и образует прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. Так как sin 30° = BK / AB, получаем 1/2 = 35 / AB, откуда AB = 70.

Ответ: 70.

Задание проверяет свойства вписанных углов и прямоугольного треугольника.

Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90° по теореме Фалеса. Вписанный угол ∠CAB опирается на ту же дугу, что центральный ∠COB, поэтому ∠CAB = 120° / 2 = 60°, а ∠ABC = 30°.

В прямоугольном треугольнике AC лежит напротив угла 30°, значит диаметр AB вдвое больше: 2 · 11 = 22.

Ответ: 22.

Задание проверяет свойства углов ромба и его диагоналей. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны; поэтому сумма двух углов 120° означает, что это два равных меньших угла по 60°.

Диагональ ромба делит угол пополам и перпендикулярна другой диагонали. Половина меньшей диагонали равна 13,5; вместе с углом 30° она образует прямоугольный треугольник, где сторона ромба равна 13,5 / sin 30° = 27.

Периметр равен 4 · 27 = 108.

Ответ: 108.

Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и вписанных углов. Противоположные углы четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 38° = 142°. В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 142° − 33° = 5°. Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну хорду AD, значит, они равны. Ответ: 5.