Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство углов ромба и вычисление его диагоналей. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому сумма двух углов 120° означает, что меньший угол равен 60°. Сторона ромба равна 88 : 4 = 22. Меньшая диагональ стягивает угол 60°; она равна 2 · 22 · sin 30° = 22.

Ответ: 22.

Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника.

Меньший катет равен √(25² − 24²) = √(625 − 576) = √49 = 7.

Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому наименьшая средняя линия равна 7/2 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Проверяются тангенс острого угла прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Опустим высоту из B на AC; пусть её основание — H. Тогда AH + HC = 6, а из равенства AB = BC следует AH = HC = 3. По условию tg ∠BAC = BH/AH = √7/3, значит BH = √7. Тогда AB = √(AH² + BH²) = √(9 + 7) = 4. Ответ: 4.

Медиана BM делит угол B = 120° пополам, поэтому ∠ABM = 60°. Так как M — середина AC, AM = MC; из равенства треугольников ABM и CBM следует, что ∠AMB = 90°. В прямоугольном треугольнике ABM сторона BM = 32 лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB = 2 · 32 = 64.

Ответ: 64.

Задание проверяет теорему косинусов. Внутренний угол C дополняет внешний угол до 180°, поэтому ∠C = 60°. По теореме косинусов: AB² = (√21)² + (5√21)² − 2 · √21 · 5√21 · cos 60° = 21 + 525 − 105 = 441. Значит, AB = 21. Ответ: 21.

Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Пусть AD = BC = 25, тогда AB = 200 / 25 = 8. В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD / AD = 8 / 25 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Проверяется нахождение диагонали прямоугольника по его сторонам. Вторая сторона равна 240 : 10 = 24. По теореме Пифагора диагональ равна √(10² + 24²) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Задание проверяет площадь параллелограмма: она равна произведению стороны на высоту, опущенную на неё. Площадь равна 12 · 18 = 216. Высота к стороне 24 равна 216 / 24 = 9. Ответ: 9.

Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба.

Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому углы с суммой 120° — противоположные, каждый равен 60°.

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и вместе с двумя сторонами образует треугольник с углом 60° между равными сторонами.

Этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна 19 единицам длины.

Периметр P = 4 · 19 = 76 единиц длины.

Ответ: 76.

По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 41 − 16 = 25, значит, AC = 5.

Тангенс угла A — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC = 4/5 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задание проверяет свойства медианы и прямоугольного треугольника. Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = 96 : 2 = 48. Поскольку BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный.

По теореме Пифагора AB = √(AM² + BM²) = √(48² + 14²) = √2500 = 50.

Ответ: 50.

Проверяется свойство углов, опирающихся на одну хорду. Угол ∠DBA опирается на хорду DA, поэтому вписанный угол ∠DCA равен 70°.

Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Точки D и C лежат по разные стороны от AB, поэтому луч CD проходит внутри угла ACB: ∠DCB = 90° − 70° = 20°.

Ответ: 20.

Проверяется использование тангенса угла в прямоугольном треугольнике и формулы площади. Высота, опущенная из вершины B на основание AC, делит основание пополам, поэтому половина основания равна 40 / 2 = 20. Для угла A tg A = h / 20 = 7 / 5, откуда высота h = 28. Площадь равна 40 · 28 / 2 = 560. Ответ: 560.

Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Так как угол C прямой, sin A = BC/AB = 0,5, поэтому AB = 14/0,5 = 28. По теореме Пифагора BH = BC²/AB = 14²/28 = 7. Ответ: 7.

Задание проверяет связь сторон и диагоналей параллелограмма. По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.

Если другая сторона равна x, то 41² + 41² = 2·(9² + x²). Отсюда x² = 1600, поэтому x = 40.

Ответ: 40.

Проверяется свойство смежных углов и определение биссектрисы. Луч MD делит угол CMB пополам, значит ∠DMC = ∠DMB = 55°, а ∠CMB = 110°. Углы CMA и CMB смежные, поэтому ∠CMA = 180° − 110° = 70°. Ответ: 70.

Задание проверяет медиану и косинус в прямоугольном треугольнике. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный. По теореме Пифагора AM = √(25² − 7²) = 24, а AC = 2AM = 48. Тогда cos∠BAC = AM/AB = 24/25 = 0,96. Ответ: 0,96.