Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет тригонометрические отношения и площадь треугольника. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB, поэтому cos A = AC/AB = 0,75.

При BC = 4 получаем sin A = BC/AB. Так как sin² A + cos² A = 1, sin A = √(1 − 0,75²) = √(7/16) = √7/4, откуда AB = 16/√7 и AC = 12/√7.

Высота CH к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: CH = AC · BC / AB = 3. Ответ: 3.

Задание проверяет свойства ромба и теорему Пифагора. Сторона ромба равна 24/4 = 6. Сумма двух углов 120° означает, что это два противоположных угла по 60°; соседние углы тогда равны 120°. Меньшая диагональ лежит напротив угла 60° и образует с двумя сторонами треугольник со всеми углами по 60°, поэтому её длина равна стороне ромба: 6. Ответ: 6.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника. Угол ADC равен 14° + 106° = 120°. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, поэтому ∠BAD = 120°. В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 120° − 14° = 46°. Ответ: 46.

Задание проверяет теорему об угле, образованном пересекающимися хордами.

Меньший угол между хордами равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла. По рисунку это дуги AK и BM, поэтому угол равен (42° + 44°)/2 = 43°.

Ответ: 43.

Задание проверяет связь длины дуги с величиной центрального угла.

Большей дуге соответствует угол 360° − 45° = 315°.

Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам, поэтому длина большей дуги равна 25 · 315/45 = 175 единиц длины.

Ответ: 175.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике и площадь прямоугольника.

В треугольнике ACD tg ∠CAD = CD/AD = 0,45. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, CD = AB = 27, значит AD = 27/0,45 = 60.

Площадь прямоугольника равна AB · AD = 27 · 60 = 1620.

Ответ: 1620.

Задание проверяет углы при параллельных прямых и сумму углов треугольника. По рисунку угол 3 вместе с углами 1 и 2 образует треугольник, поэтому ∠3 = 180° − 65° − 51° = 64°.

Ответ: 64.

Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса острого угла.

Из формулы S = AB · AD получаем AD = 400/14 = 200/7.

В прямоугольном треугольнике ADC напротив угла CAD лежит катет CD = AB = 14, а прилежащий катет — AD.

Поэтому tg ∠CAD = CD/AD = 14/(200/7) = 98/200 = 0,49.

Ответ: 0,49.

Проверяются тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора. tg A = BC/AC = 24/7, поэтому AC = 48 · 7/24 = 14. Тогда AB = √(AC² + BC²) = √(14² + 48²) = 50. Ответ: 50.

Задание проверяет равенство треугольников и сумму углов четырёхугольника.

Треугольники ABD и CBD равны по трём сторонам: AB = BC, AD = CD, а BD — общая сторона.

Следовательно, углы A и C равны.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°, поэтому ∠A = (360° − 101° − 105°)/2 = 77°.

Ответ: 77.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольнике и вычисление площади. В прямоугольном треугольнике ACD: tg ∠CAD = CD/AD = 0,65. Так как CD = AB = 26, получаем AD = 26/0,65 = 40. Площадь прямоугольника равна AB · AD = 26 · 40 = 1040.

Ответ: 1040.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Медиана к стороне длиной 8 делит её пополам: получаются отрезки по 4. По теореме Пифагора длина медианы равна √(5² − 4²) = √9 = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет площадь треугольника и свойства равнобедренного треугольника. Высота к основанию равна 2 · 60 / 24 = 5, а высота делит основание пополам: 24 / 2 = 12. Боковая сторона по теореме Пифагора равна √(12² + 5²) = 13.

Ответ: 13.

Проверяется связь медианы равнобедренного треугольника с его высотой и вычисление площади.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Пусть AB = BC = x; половина основания равна √(x² − 6²). Тогда площадь равна 6 · √(x² − 36) = 12√7, откуда √(x² − 36) = 2√7 и x² = 64. Значит, AB = 8.

Ответ: 8.

Задание проверяет формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними.

Боковые стороны равны, поэтому AB = AC = 51. Угол A заключён между ними, и площадь равна (1/2) · 51 · 51 · sin A = (1/2) · 51² · 15/17 = 1080.

Ответ: 1080.

Ответ: 128. Так как AC = BC, углы A и B равны. Внешний угол при B и внутренний угол B составляют 180°, поэтому угол B равен 180° − 154° = 26°. Сумма углов треугольника равна 180°, значит угол C = 180° − 26° − 26° = 128°.

Проверяется связь площади прямоугольника с его сторонами и теорема Пифагора. Вторая сторона равна 168 : 24 = 7. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 24 и 7: √(24² + 7²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Так как MD — биссектриса угла CMB, то ∠DMC = ∠DMB = 67°. Углы AMC и CMB смежные, поэтому ∠CMA = 180° − (67° + 67°) = 46°.

Ответ: 46.

Задание проверяет связь длины дуги с величиной центрального угла.

Большей дуге соответствует угол 360° − 5° = 355°.

Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам, поэтому длина большей дуги равна 2 · 355/5 = 142 единицы длины.

Ответ: 142.