Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике медиана перпендикулярна . Найдите , если , .
Проверяется теорема Пифагора и свойство медианы. Так как BM перпендикулярна AC и M — середина AC, AM = 120/2 = 60. В прямоугольном треугольнике ABM: AB = √(60² + 11²) = √3721 = 61.
Ответ: 61.
В треугольнике проведена биссектриса угол равен угол равен Найдите величину угла Ответ дайте в градусах.
В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Задание проверяет тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
Поскольку ∠C = 90°, cos A = AC/AB = 0,5. Следовательно, sin B = AC/AB = 0,5.
В прямоугольном треугольнике BCH высота CH равна BC · sin B, поэтому CH = 12 · 0,5 = 6.
Ответ: 6.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Сумма двух углов ромба равна , а его периметр равен 24. Найдите меньшую диагональ ромба.
Задание проверяет свойства углов ромба и его диагоналей. Сумма двух углов 240°, значит это два равных тупых угла по 120°; острые углы равны 60°. Периметр 24, поэтому сторона равна 24/4 = 6. Меньшая диагональ напротив угла 60°: она равна 2 · 6 · sin 30° = 6.
Ответ: 6.
В прямоугольнике сторона равна 90, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь прямоугольника. В прямоугольнике AD = BC = 90.
В треугольнике ACD: tg ∠CAD = CD / AD, поэтому CD / 90 = 1 / 15 и CD = 6. Тогда площадь прямоугольника равна 90 · 6 = 540.
Ответ: 540.
В равнобедренном треугольнике угол
равен Высота проведённая к основанию
равна 11. Найдите длину стороны
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию прямоугольного треугольника. Высота BK, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника и пополам угол при вершине B: каждый такой угол равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABK сторона BK = 11 прилежит к углу 60°, поэтому cos 60° = BK/AB = 1/2. Отсюда AB = 22. Ответ: 22.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 24,
а острый угол равен .
Задание проверяет нахождение высоты и площади ромба. Высота h связана со стороной a формулой h = a · sin 30°, поэтому a = 24/(1/2) = 48. Площадь ромба S = a · h = 48 · 24 = 1152 квадратных единицы. Ответ: 1152.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанных углов и четырёхугольника, вписанного в окружность. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому ∠ACD = 78°.
В треугольнике ACD: ∠ADC = 180° − 78° − 40° = 62°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, значит, ∠ABC = 180° − 62° = 118°.
Ответ: 118.
правильный девятиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Разбирается планиметрия: центральные и вписанные углы правильного многоугольника.
Центральный угол правильного девятиугольника равен 360°/9 = 40°. Дуга AC, не содержащая D, охватывает две стороны, поэтому её градусная мера равна 2 · 40° = 80°.
Вписанный угол ADC равен половине дуги, на которую опирается: 80°/2 = 40°.
Ответ: 40.
В треугольнике на сторонах и отмечены точки и соответственно так, что , а . Во сколько раз площадь треугольника больше площади треугольника ?
Проверяется отношение площадей треугольников с общей вершиной и сторонами на двух лучах. У них одинаковый угол при B, поэтому отношение площадей равно произведению отношений прилежащих сторон. BM/BA = 1/2, BK/BC = 5/8, значит S(MBK)/S(ABC) = 5/16 и S(ABC)/S(MBK) = 16/5 = 3,2.
Ответ: 3,2.
В ромбе известно, что , . Найдите синус угла .
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 46. Найдите боковую сторону треугольника .
Проверяются свойства равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. Внешний угол при основании равен 150°, поэтому внутренний угол при основании равен 30°.
Медиана BM к основанию также является высотой и делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В одном из них угол при основании равен 30°, а противолежащий ему катет BM = 46; гипотенуза равна удвоенному катету: 2 · 46 = 92.
Ответ: 92.
В треугольнике известно, что , . Найдите площадь треугольника .
Ответ: 660. Равные стороны AB и BC образуют равнобедренный треугольник с основанием AC = 22. Высота из B делит основание пополам, получаются отрезки по 11. По теореме Пифагора высота равна √(61² − 11²) = √(3721 − 121) = √3600 = 60. Площадь равна половине произведения основания на высоту: S = 22 · 60 / 2 = 660.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 17,
а острый угол равен .
Задание проверяет формулу площади ромба через сторону и высоту. Высота к стороне равна стороне, умноженной на синус угла: 17 = a · sin 30°, поэтому a = 34. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: 34 · 17 = 578. Ответ: 578.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны
и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Задание проверяет свойства вписанного угла и прямоугольного треугольника.
Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Центральный угол COB равен 120°, значит вписанный угол CAB, опирающийся на ту же дугу CB, равен 60°.
В прямоугольном треугольнике ACB сторона AC лежит напротив угла 30°, поэтому диаметр AB = 2 · AC = 106.
Ответ: 106.
В прямоугольнике сторона равна 42, . Найдите площадь прямоугольника.
В параллелограмме диагонали делят его углы пополам и равны
40 и 42. Найдите периметр параллелограмма .
Задание проверяет свойства ромба и применение теоремы Пифагора.
Параллелограмм, диагонали которого делят его углы пополам, является ромбом.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны 20 и 21.
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с этими катетами: a = √(20² + 21²) = √841 = 29.
Периметр P = 4a = 4 · 29 = 116.
Ответ: 116.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 6, а . Найдите площадь треугольника .
Проверяется применение тангенса в прямоугольном треугольнике и формулы площади. Высота BM = 6 делит основание равнобедренного треугольника пополам. В прямоугольном треугольнике ABM tg A = BM/AM = 0,3, поэтому AM = 6/0,3 = 20 и основание AC = 40. Площадь равна AC · BM/2 = 40 · 6/2 = 120. Ответ: 120.
На окружности радиуса 20 отмечена точка . Отрезок диаметр окружности, Найдите
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой, а AB = 2 · 20 = 40. Тогда sin ∠ABC = AC / AB = 14 / 40 = 0,35.
Ответ: 0,35.
