Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и вычисление сторон прямоугольного треугольника.

Внутренний угол при вершине C равен 180° − 150° = 30°.

Поскольку AB = BC, медиана BK к основанию AC является также высотой.

В прямоугольном треугольнике BKC катет BK лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы: BK = 24/2 = 12 ед.

Ответ: 12.

Проверяется нахождение тангенса угла в прямоугольном треугольнике. Поскольку площадь прямоугольника равна 77, а BC = 10, получаем AB = 77 / 10 = 7,7. Для угла CAD противолежащий катет — CD = AB, а прилежащий — AD = BC, поэтому tg(CAD) = 7,7 / 10 = 0,77.

Ответ: 0,77.

Задание проверяет отношение площадей треугольников с общей вершиной и углом. Площади ABC и MBK можно сравнить по произведениям сторон, образующих угол B: отношение площадей равно (AB · BC)/(BM · BK).

Из BM/AB = 1/2 и BK/BC = 5/7 следует, что площадь MBK составляет 1/2 · 5/7 = 5/14 площади ABC. Значит, ABC больше в 14/5 = 2,8 раза.

Ответ: 2,8.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и окружности. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой. По теореме Пифагора AB = √(18² + 24²) = 30, поэтому радиус равен половине диаметра: 30 : 2 = 15. Ответ: 15.

Задание проверяет свойства параллелограмма и его диагоналей. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, то это ромб: все его стороны равны. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 30 и 16. Сторона ромба равна √(30² + 16²) = √1156 = 34, а периметр равен 4 · 34 = 136.

Ответ: 136.

Задание проверяет свойства углов треугольника и длину биссектрисы.

Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 120°. Биссектриса делит его пополам, а в равнобедренном треугольнике ABK угол A равен 30° и угол K равен 90°.

В треугольнике ABK катет AB? Здесь AB — гипотенуза, а BK противолежит углу 30°, значит BK = AB/2 = 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет умение находить высоту и площадь трапеции.

Острый угол между боковой стороной и прямой основания равен 180° − 150° = 30°.

Высота трапеции h = 10 · sin 30° = 5 ед.

Площадь S = (a + b) · h/2 = (5 + 13) · 5/2 = 45 кв. ед.

Ответ: 45.

Задание проверяет вычисление площади прямоугольного треугольника и понимание тангенса острого угла. tg B = AC/BC = 7/13, поэтому при BC = 26 получаем AC = 14.

Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC / 2 = 14 · 26 / 2 = 182.

Ответ: 182.

Задание проверяет свойства вписанных углов и углов вписанного четырёхугольника. Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на хорду AD, поэтому ∠ACD = 35°. В треугольнике ACD угол ∠ADC = 180° − 51° − 35° = 94°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, значит ∠ABC = 180° − 94° = 86°.

Ответ: 86.

Проверяются свойства вписанного четырёхугольника и вписанных углов. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 70° = 110°. В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 49° − 110° = 21°. Углы ACD и ABD опираются на одну хорду AD, значит, они равны.

Ответ: 21°.

Проверяется связь длины дуги с соответствующим центральным углом. Дуги одной окружности пропорциональны своим центральным углам.

Меньшей дуге соответствует угол 20°, а большей — 360° − 20° = 340°. Поэтому длина большей дуги равна 5 · 340/20 = 85.

Ответ: 85.

Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора.

Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому эта сторона равна 2 · 8 = 16 ед.

Она не может быть гипотенузой, поскольку гипотенуза больше катета длиной 30 ед.; значит, второй катет равен 16 ед.

По теореме Пифагора гипотенуза c = √(30² + 16²) = √1156 = 34 ед.

Ответ: 34.

Проверяется теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр, и теорема Пифагора.

Поскольку AB — диаметр, угол ACB равен 90°, поэтому AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. По теореме Пифагора AB² = 20² + 21² = 841, значит, AB = 29.

Радиус равен половине диаметра: 29 : 2 = 14,5.

Ответ: 14,5.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Так как A, M и B лежат на одной прямой, угол CMB равен 180° − ∠CMA.

Луч MD делит угол CMB пополам, а ∠DMC = 81°, поэтому ∠CMB = 162°. Тогда ∠CMA = 180° − 162° = 18°.

Ответ: 18.

При разбиении прямоугольника на четыре части произведения площадей противоположных маленьких прямоугольников равны: верхняя левая · нижняя правая = верхняя правая · нижняя левая.

Следовательно, 12 · 33 = 18 · x, откуда x = 12 · 33 / 18 = 22.

Ответ: 22.

Проверяется сумма углов выпуклого четырёхугольника и свойства равнобедренных треугольников. Из AB = BC и AD = CD следует, что AC — общая основа равнобедренных треугольников, поэтому диагональ AC делит углы A и C пополам. Следовательно, углы A и C равны, а их сумма равна 360° − 55° − 117° = 188°. Значит, угол A равен 188° : 2 = 94°.

Ответ: 94.

Проверяется вписанный угол правильного многоугольника. В правильном десятиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен 360° : 10 = 36°.

Угол DBJ опирается на дугу DJ, не содержащую вершину B. Эта дуга проходит через шесть промежутков между соседними вершинами, поэтому её градусная мера равна 6 · 36° = 216°.

Вписанный угол равен половине дуги: 216° : 2 = 108°.

Ответ: 108.

Проверяется деление полного угла вокруг центра на равные части. Полный угол равен 360°, а спиц 8.

Угол между соседними спицами равен 360° : 8 = 45°.

Ответ: 45.