Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Найдите площадь ромба, если его высота равна 1,
а острый угол равен .
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту. Если сторона равна a, то из прямоугольного треугольника sin 30° = 1/a, поэтому a = 2.
Тогда площадь равна 2 · 1 = 2.
Ответ: 2.
правильный девятиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства углов правильного многоугольника и вписанных углов.
Соседние вершины правильного девятиугольника делят окружность на дуги по 360° / 9 = 40°. Угол DAC опирается на дугу DC, не содержащую A, то есть на одну такую дугу, поэтому он равен 40° / 2 = 20°.
Ответ: 20.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет углы при касательных к окружности. Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB два угла равны 90°.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 57° = 123°.
Ответ: 123.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне параллелограмма. |
|
Задание проверяет площадь параллелограмма и связь площади с основанием и высотой.
Площадь равна 10 · 6 = 60. Для большей стороны 12 высота равна 60 / 12 = 5.
Ответ: 5.
| В выпуклом четырёхугольнике известно, |
|
Проверяется: свойства четырёхугольника с двумя парами равных соседних сторон и сумма его углов.
Из AB = BC и AD = CD следует, что диагональ BD делит четырёхугольник на равные треугольники ABD и CBD. Поэтому углы A и C равны. Тогда 2∠A + 55° + 137° = 360°, откуда ∠A = 84°.
Ответ: 84.
| В ромбе диагональ |
|
Проверяется тангенс угла в прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина AC равна 10.
Пусть половина второй диагонали равна x. По теореме Пифагора x² + 10² = (√109)², откуда x = 3. Тогда tg(BAC) = 3 / 10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведённая к основанию, равна 20. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, поэтому KC = 42/2 = 21.
В прямоугольном треугольнике BKC по теореме Пифагора BC = √(20² + 21²) = √841 = 29.
Отрезок KP — медиана к гипотенузе этого треугольника, поэтому KP = BC/2 = 29/2 = 14,5.
Ответ: 14,5.
В треугольнике угол равен , сторона равна 15. Тангенс угла равен . Найдите длину стороны .
Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.
Так как ∠C = 90°, для угла A имеем tg A = BC / AC = 5 / 12. При BC = 15 получаем AC = 15 · 12 / 5 = 36.
По теореме Пифагора AB = √(15² + 36²) = √1521 = 39.
Ответ: 39.
В параллелограмме проведена биссектриса угла , пересекающая сторону в точке . Найдите , если , а периметр параллелограмма равен 30.
Задание проверяет свойства параллелограмма и биссектрисы. Из периметра получаем BC = 30 / 2 − 6 = 9. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K, причём BK = AB = 6; значит, KC = 9 − 6 = 3. Ответ: 3.
| Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции. |
|
Проверяется вычисление площади трапеции через высоту и основания.
Высота равна 10 · sin 150° = 5. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (9 + 17) · 5 / 2 = 65.
Ответ: 65.
В равнобедренном треугольнике угол равен Высота проведённая к основанию равна 17. Найдите длину стороны
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Высота к основанию делит угол при вершине пополам, поэтому угол ABK равен 60°, а треугольник ABK прямоугольный. Тогда AB = BK / cos 60° = 17 / 0,5 = 34.
Ответ: 34.
| Прямые и параллельны (см. рисунок). |
|
Задание проверяет свойства параллельных прямых и сумму углов треугольника.
По свойству параллельных прямых угол при нижней прямой, входящий в треугольник, равен 73°. Тогда ∠3 = 180° − 42° − 73° = 65°.
Ответ: 65
| На прямой отмечена точка . Луч биссектриса угла . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
Задание проверяет свойства биссектрисы и смежных углов.
Поскольку MD — биссектриса угла CMB, угол DMB равен углу DMC, то есть 18°. Углы CMA и CMB смежные, поэтому ∠CMA = 180° − 2 · 18° = 144°.
Ответ: 144.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 59. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и косинус острого угла. Высота к основанию делит угол при вершине пополам, поэтому угол ABK равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABK cos 60° = BK / AB, откуда AB = 59 / 0,5 = 118.
Ответ: 118.
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 5. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. По клеткам радиус внешнего круга в 3 раза больше радиуса внутреннего.
Заштрихованная площадь равна площади внутреннего круга, умноженной на 3² − 1: 5 · 8 = 40.
Ответ: 40.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Диаметр AB образует прямой угол с хордой AD: ∠ADB = 90°. В треугольнике ADB получаем ∠DAB = 180° − 90° − 44° = 46°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому равны. Ответ: 46.
Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.
Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора.
Опустим высоты из концов меньшего основания на большее: крайние отрезки равны (96 − 16)/2 = 40.
Из прямоугольного треугольника с боковой стороной получаем h² = 58² − 40² = 1764.
Проекция диагонали на большее основание равна 40 + 16 = 56, поэтому диагональ равна √(56² + 1764) = √4900 = 70.
Ответ: 70.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 12, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и определение тангенса.
Высота BM к основанию является также медианой, поэтому AC = 2AM.
В прямоугольном треугольнике ABM tg A = BM/AM, откуда AM = 12/2,4 = 5.
Тогда AC = 10, а площадь S = AC · BM/2 = 10 · 12/2 = 60 кв. ед.
Ответ: 60.
| На стороне прямоугольника , у которого и , отмечена точка так, что треугольник равнобедренный. Найдите . |
|
Задание проверяет свойства прямоугольника и теорему Пифагора. По рисунку E лежит на BC, поэтому ∠ABE = 90°. Чтобы треугольник ABE был равнобедренным, равны катеты AB и BE; значит, BE = 15.
Так как BC = AD = 23, получаем EC = 23 − 15 = 8. Кроме того, CD = AB = 15, поэтому ED = √(8² + 15²) = 17.
Ответ: 17.
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведённая к основанию, равна 5. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет медиану и теорему о средней линии треугольника. Высота BK к основанию равнобедренного треугольника делит основание AC пополам, поэтому KC = 24 : 2 = 12. Точка P — середина BC, а K — середина KC? Нет: K лежит на AC, но KC не делится пополам высотой, поэтому отрезок KP нельзя считать средней линией треугольника BKC. Из данных следует BK = 5 и KC = 12, а значит KP — медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника BKC и равна половине BC: BC = √(5² + 12²) = 13, KP = 6,5. Ответ: 6,5.
