Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Внешние углы при A и C равны 150°, поэтому внутренние углы равны 180° − 150° = 30°.

Сумма углов треугольника 180°, значит, ∠B = 180° − 30° − 30° = 120°. Так как ∠A = ∠C, треугольник равнобедренный и AB = BC = 56.

Длина биссектрисы из вершины равнобедренного треугольника к основанию равна высоте. Она делит основание пополам, а половина угла B равна 60°. Тогда BK = 56 · cos 60° = 28.

Ответ: 28.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому AD = 540 : 30 = 18. В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD — это отношение CD к AD. Так как CD = AB = BC = 30, получаем tg CAD = 30 : 18 = 0,6.

Ответ: 0,6

Длина дуги пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Большая дуга соответствует углу 360° − 15° = 345°.

Её длина равна 6 · 345 / 15 = 138.

Ответ: 138.

Проверяется свойство прямоугольной трапеции и тригонометрия прямоугольного треугольника. Разность оснований равна 9 − 5 = 4. Угол 135° даёт острый угол 45°, поэтому высота равна 4 · tg 45° = 4; меньшая боковая сторона — эта высота.

Ответ: 4.

Задание проверяет определение биссектрисы и свойство смежных углов.

Биссектриса MD делит угол CMB пополам, поэтому ∠CMB = 2 · 51° = 102°.

На рисунке лучи MA и MB противоположны, значит углы CMA и CMB смежные и их сумма равна 180°.

Следовательно, ∠CMA = 180° − 102° = 78°.

Ответ: 78.

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов треугольника и соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Так как треугольник прямоугольный и BC — катет, лежащий напротив угла 30°, гипотенуза AB вдвое больше BC: AB = 2 · 44 = 88.

Ответ: 88.

Проверяется умение находить стороны прямоугольной трапеции через прямоугольный треугольник. Разность оснований равна 8 − 3 = 5; при угле 135° острый угол треугольника у наклонной боковой стороны равен 45°.

В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны, поэтому высота трапеции равна 5. Вторая боковая сторона больше высоты, значит меньшая боковая сторона равна 5.

Ответ: 5.

Диаметр AB равен двум радиусам: AB = 20. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой, поэтому AB является гипотенузой треугольника ABC, а AC = 11 — катет. Косинус угла BAC равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos ∠BAC = AC / AB = 11 / 20 = 0,55. Ответ: 0,55.

Проверяется вычисление диагонали прямоугольника по сторонам. Вторая сторона равна 360 : 9 = 40. По теореме Пифагора диагональ равна √(9² + 40²) = √1681 = 41.

Ответ: 41.

Проверяется нахождение площади равнобедренного треугольника. Высота к основанию AC делит его пополам: по 16. Тогда высота равна √(34² − 16²) = 30. Площадь равна 32 · 30 / 2 = 480. Ответ: 480.

Проверяется тема планиметрии: площадь прямоугольного треугольника и высота к гипотенузе. Гипотенуза равна √(15² + 20²) = 25. Площадь также выражается через гипотенузу c и высоту h: 150 = 25 · h / 2, откуда h = 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет свойства параллелограмма и диагоналей. Сумма противоположных углов равна 120°, а они равны, поэтому ∠A = ∠C = 60°. Перпендикулярные диагонали параллелограмма означают, что он является ромбом: его диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому соседние стороны равны. Следовательно, BD = AB = 43.

Ответ: 43.

Задание проверяет свойства медианы и высоты треугольника. Так как BM = BC, треугольник BMC равнобедренный; высота BH к основанию MC делит его пополам, поэтому MH = HC. Медиана BM делит AC пополам, значит AM = MC, и из AC = 15 получаем AM = MC = 7,5. Тогда AH = AM + MH = 7,5 + 3,75 = 11,25.

Ответ: 11,25.

Задание проверяет свойства вписанных углов и угла, опирающегося на диаметр.

Угол ADB равен 90°, поскольку AB — диаметр окружности.

В треугольнике ABD угол DAB равен 180° − 90° − 63° = 27°.

Углы DAB и DCB опираются на одну дугу DB, поэтому равны.

Ответ: 27.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Лучи MA и MB противоположны, поэтому ∠CMB = 180° − 36° = 144°. Биссектриса MD делит угол CMB на два равных угла: ∠DMB = 144°/2 = 72°. Ответ: 72.

Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому сумму 240° образуют два равных противоположных угла: каждый равен 120°. Два остальных угла равны 180° − 120° = 60°. Меньшая диагональ соединяет вершины с углами 120° и отсекает треугольник с двумя равными сторонами ромба и углом 60° между ними. Такой треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали — 23 единицам длины. Периметр равен 4 · 23 = 92 единицы длины. Ответ: 92.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, теорему Пифагора и определение косинуса. Медиана BM, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный. По теореме Пифагора AM = √(5² − 3²) = 4 ед. Поскольку M лежит на AC, cos ∠BAC = AM/AB = 4/5 = 0,8. Ответ: 0,8.

Проверяется тригонометрия в равнобедренном треугольнике. Пусть высота из вершины B делит основание AC пополам: каждая часть равна 6. Тогда tg∠BAC = BH/6 = √13/6, откуда BH = √13.

По теореме Пифагора AB² = 6² + (√13)² = 49, поэтому AB = 7.

Ответ: 7.

Проверяется связь синуса угла с противолежащим катетом в прямоугольном треугольнике. По определению sin A = BC/AB, поэтому BC = 25 · 7/25 = 7. По теореме Пифагора AC² = 25² − 7² = 576, значит AC = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет связь длины дуги с её центральным углом.

Большей дуге соответствует угол 360° − 12° = 348°.

Длины дуг одной окружности пропорциональны их центральным углам, поэтому длина большей дуги равна 3 · 348/12 = 87 единиц длины.

Ответ: 87.