Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике известно, что , , внешний угол при вершине
равен . Найдите .
Задание проверяет применение теоремы синусов в треугольнике.
Внутренний и внешний углы при вершине C в сумме дают 180°, поэтому ∠C = 180° − 150° = 30°.
По теореме синусов AB/sin C = BC/sin A.
Значит, AB = 12 · sin 30° / (2/3) = 12 · (1/2) · (3/2) = 9.
Ответ: 9.
В треугольнике известно, что Найдите площадь треугольника
Задание проверяет вычисление площади треугольника по основанию и высоте. Высота из B к основанию AC делит его пополам: каждая половина равна 5.
По теореме Пифагора высота равна √(13² − 5²) = 12. Тогда площадь равна (10 · 12) / 2 = 60.
Ответ: 60.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла A противолежащий катет — BC. По теореме Пифагора BC=√(AB²−AC²)=√(50²−48²)=√196=14. Тогда sin A=14/50=0,28. Ответ: 0,28.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В параллелограмме проведена биссектриса угла , пересекающая сторону в точке . Найдите , если , а периметр параллелограмма равен 20.
Задание проверяет свойства параллелограмма и биссектрисы угла.
Из формулы периметра P = 2 · (AB + BC) получаем BC = 20/2 − 4 = 6 ед.
Биссектриса AK делит угол A пополам, поэтому ∠BAK = ∠KAD.
Так как BC параллельна AD, углы BKA и KAD равны, а значит, ∠BAK = ∠BKA.
В треугольнике ABK против равных углов лежат равные стороны, поэтому BK = AB = 4 ед.
Следовательно, KC = BC − BK = 6 − 4 = 2 ед.
Ответ: 2.
В прямоугольнике сторона равна 48, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет применение тангенса для нахождения площади прямоугольника.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому AD = BC = 48 ед.
В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD/AD.
Следовательно, CD = 48 · 5/6 = 40 ед.
Площадь прямоугольника S = AD · CD = 48 · 40 = 1920 кв. ед.
Ответ: 1920.
В ромбе диагональ , сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяется тема планиметрии: диагонали ромба и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина AC равна 40, а половина BD равна √(41² − 40²) = 9. Поэтому tg ∠BAC = 9 / 40 = 0,225.
Ответ: 0,225.
В треугольнике известно, что , . Найдите длину медианы .
Проверяется медиана в равнобедренном треугольнике. Медиана к основанию также является высотой, поэтому половина основания равна 96 : 2 = 48. По теореме Пифагора BM = √(80² − 48²) = √4096 = 64.
Ответ: 64.
Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.
Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора. Половина разности оснований равна (75 − 33)/2 = 21 — это горизонтальная проекция боковой стороны.
Высота трапеции равна √(75² − 21²) = √5184 = 72. Горизонтальная проекция диагонали равна 21 + 33 = 54, поэтому её длина равна √(72² + 54²) = √8100 = 90.
Ответ: 90.
| В треугольнике угол равен Найдите |
|
Проверяется тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 101 − 1 = 100, значит, AC = 10. Для угла A тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC = 1/10 = 0,1. Ответ: 0,1.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 7. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет связь центрального угла и длин дуг одной окружности. Меньшая дуга соответствует углу 28°, а большая — углу 360° − 28° = 332°. Длины дуг относятся как соответствующие углы, поэтому длина большей дуги равна 7 · 332/28 = 83.
Ответ: 83
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 57. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет связь центрального угла и длины соответствующей дуги. Меньшая дуга в 57° имеет длину 57, поэтому длина всей окружности равна 57 · 360 / 57 = 360.
Большая дуга соответствует углу 360° − 57° = 303°, поэтому её длина равна 360 · 303 / 360 = 303.
Ответ: 303.
В прямоугольнике сторона равна 14, . Найдите площадь прямоугольника.
В ромбе диагональ
сторона Найдите тангенс угла
Проверяется свойство диагоналей ромба и определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O — их точка пересечения; тогда AO = 10.
В прямоугольном треугольнике AOB гипотенуза AB = √149, поэтому BO² = 149 − 10² = 49 и BO = 7.
Тангенс угла BAC равен BO/AO = 7/10 = 0,7.
Ответ: 0,7.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Гипотенуза равна √(7² + 24²) = √625 = 25.
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Наибольшая сторона — гипотенуза, значит, наибольшая средняя линия равна 25/2 = 12,5.
Ответ: 12,5.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и Известно, что Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство вписанных углов и прямого угла, опирающегося на диаметр. В треугольнике ADB угол ADB равен 90°, поэтому угол DAB = 90° − 49° = 41°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB, значит, они равны.
Ответ: 41°.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 22. Найдите длину стороны .
Проверяется связь медианы и биссектрисы в равнобедренном треугольнике. По рисунку BM — медиана и биссектриса, поэтому треугольники ABM и CBM равны, а AB = BC. Половина угла B равна 60°. В треугольнике ABM по теореме синусов AB / sin 90° = BM / sin 30°, откуда AB = 22 / 0,5 = 44.
Ответ: 44.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Проверяется свойство параллелограмма: если диагонали являются биссектрисами его углов, то это ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина AC равна 40, а сторона AB равна 41; по теореме Пифагора половина BD равна √(41² − 40²) = 9. Значит, BD = 2 · 9 = 18.
Ответ: 18.
В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет сумму углов треугольника и свойство биссектрисы. Так как AL — биссектриса, ∠BAL = ∠LAC; в треугольнике ALC угол при L равен 58°, поэтому ∠LAC + ∠ACB = 122°. Также ∠ABC = 31°, а значит ∠BAC + ∠ACB = 149°. Из ∠BAC = 2∠LAC и этих равенств получаем ∠ACB = 95°. Ответ: 95°.
В прямоугольнике сторона равна 11, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет определение тангенса и формулу площади прямоугольника.
В прямоугольном треугольнике ACD противолежащий углу CAD катет CD = AB = 11 ед. длины.
Поэтому tg ∠CAD = CD/AD = 0,44, откуда AD = 11/0,44 = 25 ед. длины.
Площадь прямоугольника S = AB · AD = 11 · 25 = 275 кв. ед.
Ответ: 275.
В треугольнике известно, что , . Найдите длину медианы .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Медиана делит основание пополам, поэтому AM = MC = 104/2 = 52. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM² = 65² − 52² = 1521 = 39². Ответ: 39.
