Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике известно, что , . Найдите длину медианы .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора.
Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC является высотой.
AM = AC/2 = 60, поэтому BM = √(AB² − AM²) = √(75² − 60²) = √2025 = 45 единиц длины.
Ответ: 45.
| На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и Известно, что Найдите величину угла Ответ дайте в градусах. |
|
Задание проверяет свойства вписанных углов. Углы DBA и DCA опираются на одну хорду DA, поэтому равны: ∠DCA = 41°. Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Луч CD делит этот угол, значит ∠DCB = 90° − 41° = 49°. Ответ: 49.
Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите , если , . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства углов при параллельных прямых и сумму углов треугольника. Угол при левой нижней вершине треугольника равен 59° как накрест лежащий с углом 1. Угол при правой нижней вершине равен 38°. Поэтому ∠3 = 180° − 59° − 38° = 83°.
Ответ: 83.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним |
|
Задание проверяет площадь трапеции и высоту, найденную через синус угла. Высота равна 10 · sin 150° = 10 · 0,5 = 5.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (9 + 17) / 2 · 5 = 65.
Ответ: 65.
Площадь прямоугольника равна 200, сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяется тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, значит AD = 200 : 8 = 25.
В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD. Здесь CD = AB = 8, поэтому tan(CAD) = 8 : 25 = 0,32.
Ответ: 0,32.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Катет . Найдите гипотенузу .
Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а прямой угол — при B, значит BC лежит напротив угла 30°. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 31 = 62.
Ответ: 62.
| В треугольнике стороны |
|
Задание проверяет связь внешнего угла треугольника с внутренними углами. Внутренний угол B смежен с внешним, поэтому B = 180° − 151° = 29°. Из AC = BC следует, что противоположные им углы B и A равны, значит A = 29°. Тогда C = 180° − 29° − 29° = 122°. Ответ: 122.
В прямоугольнике одна из сторон равна 60, а диагональ равна 61. Найдите площадь этого прямоугольника.
Проверяется применение теоремы Пифагора к прямоугольнику. Вторая сторона равна √(61² − 60²) = √121 = 11. Площадь прямоугольника равна 60 · 11 = 660.
Ответ: 660.
В трапеции известно, что ,
и . Найдите угол . Ответ дайте
в градусах.
В треугольнике угол равен , . Площадь треугольника равна 20. Найдите .
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Из формулы площади найдём катет AC: (AC · 5) / 2 = 20, значит AC = 8. Тогда tg B = AC / BC = 8 / 5 = 1,6.
Ответ: 1,6.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому углы OAC и OBC равны 90°. В четырёхугольнике AOCB сумма углов равна 360°. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 18° = 162°.
Ответ: 162.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 16
и 30. Найдите периметр параллелограмма.
Задание проверяет свойства параллелограмма и ромба. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то это ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 8 и 15. Сторона ромба равна √(8² + 15²) = 17, а периметр равен 4 · 17 = 68.
Ответ: 68.
В прямоугольном треугольнике внешний угол
при вершине равен Катет Найдите длину гипотенузы
Задание проверяет свойство смежных углов и свойство катета, лежащего против угла 30°.
Внутренний угол A смежный с данным внешним углом, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.
Катет BC лежит против угла A и равен половине гипотенузы AB.
Следовательно, AB = 2 · BC = 2 · 30 = 60 ед. длины.
Ответ: 60.
| Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна а один из катетов равен 2. |
|
Задание проверяет применение теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора квадрат второго катета равен (2√5)² − 2² = 20 − 4 = 16.
Значит, второй катет равен √16 = 4.
Площадь равна половине произведения катетов: S = 2 · 4 / 2 = 4 квадратные единицы.
Ответ: 4.
Площадь прямоугольника равна 245, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса острого угла.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому AD = BC = 35 ед., а CD = 245 / 35 = 7 ед.
В прямоугольном треугольнике ACD для угла CAD противолежащий катет — CD, прилежащий — AD.
Следовательно, tg ∠CAD = CD / AD = 7 / 35 = 0,2.
Ответ: 0,2.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, то соседние стороны равны; следовательно, это ромб. У ромба диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
Половина AC равна 24, а AB = 40 — гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба. Тогда половина BD равна √(40² − 24²) = 32, поэтому BD = 64.
Ответ: 64.
Обе диагонали параллелограмма равны 61. Одна из сторон параллелограмма равна 60. Найдите другую сторону параллелограмма.
Проверяется свойство диагоналей параллелограмма: сумма их квадратов равна удвоенной сумме квадратов сторон. Обозначим вторую сторону через x: 61² + 61² = 2 · (60² + x²). Отсюда x² = 121, а длина стороны положительна, поэтому x = 11.
Ответ: 11.
Площадь прямоугольника равна 108, . Найдите синус угла .
Задание проверяет синус острого угла в прямоугольном треугольнике. Площадь прямоугольника равна произведению сторон, поэтому AB = 108 / 12 = 9. Диагональ AC = √(9² + 12²) = 15, а sin ∠CAB = BC / AC = 12 / 15 = 0,8.
Ответ: 0,8.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 20, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет применение тангенса и формулы площади треугольника.
Высота BM равнобедренного треугольника является также медианой, поэтому AC = 2AM.
В прямоугольном треугольнике ABM: tg A = BM/AM, откуда AM = 20/1,6 = 12,5 ед. длины.
Тогда AC = 25 ед. длины, а площадь S = AC · BM/2 = 25 · 20/2 = 250 кв. ед.
Ответ: 250.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 21. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет умение находить площади трапеции и треугольника.
Основания AD и BC параллельны, поэтому высота треугольника ABC к стороне BC равна высоте трапеции h.
По формуле площади трапеции 21 = (8 + 4) · h/2, откуда h = 3,5 ед.
Тогда S(ABC) = BC · h/2 = 4 · 3,5/2 = 7 кв. ед.
Ответ: 7.
