Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство параллелограмма: если диагонали равны, то он является прямоугольником. Его диагональ равна 13, а сторона — 12. По теореме Пифагора для сторон прямоугольника получаем другую сторону: √(13² − 12²) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике и нахождение площади. Так как sin A = BC/AB = 1/√5, получаем BC = 2√5 · 1/√5 = 2. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 20 − 4 = 16, значит AC = 4. Площадь равна BC · AC / 2 = 2 · 4 / 2 = 4.

Ответ: 4.

Проверяются синус угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора. Гипотенуза AB = 25, катет AC = 20, поэтому BC = √(25² − 20²) = 15. Для угла A синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = 15/25 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Проверяется умение находить площадь ромба. Площадь равна произведению стороны на высоту; из прямоугольного треугольника с углом 30° сторона ромба равна 50 / sin 30° = 100. Тогда S = 100 · 50 = 5000.

Ответ: 5000.

Проверяется связь медианы с равными отрезками и свойства равнобедренного треугольника. Медиана BM делит AC пополам, а поскольку она одновременно делит угол B пополам, треугольники ABM и CBM равны.

Значит, BM перпендикулярна AC, и в прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°. Тогда AB = BM / cos 60° = 23 / 0,5 = 46.

Ответ: 46.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, значит угол B равен 30°. Катет AC, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: AB = 2 · 15 = 30.

Ответ: 30.

Задание проверяет свойства параллелограмма и диагоналей. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, такой параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник. Половина AC равна 9, сторона AB равна 41, значит половина BD равна √(41² − 9²) = √1600 = 40. Следовательно, BD = 2 · 40 = 80.

Ответ: 80.

Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора. Медиана к основанию равнобедренного треугольника одновременно является высотой, поэтому BM = 7. Из tg A = 7/24 получаем AM = 24. Тогда AB = √(7² + 24²) = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и определение синуса угла в прямоугольном треугольнике. Проведём высоту из B к AC; она делит основание пополам, поэтому половина AC равна 24. Высота равна √(25² − 24²) = 7. Тогда sin ∠BAC = 7/25 = 0,28. Ответ: 0,28.

Задание проверяет свойства равнобедренных треугольников и сумму углов четырёхугольника.

Проведём диагональ AC. Из AB = BC следует, что ∠BAC = ∠ACB; из AD = CD следует, что ∠CAD = ∠ACD.

Значит, углы A и C четырёхугольника равны. Тогда 2∠A = 360° − 94° − 120° = 146°, поэтому ∠A = 73°.

Ответ: 73.

Проверяются тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь прямоугольника. В треугольнике ACD угол D прямой, поэтому tg ∠CAD = CD / AD = 0,16. Диагональ AC делит прямоугольник на два равных треугольника, а AB = CD = 12; значит AD = 12 / 0,16 = 75. Площадь прямоугольника равна AB · AD = 12 · 75 = 900.

Ответ: 900.

Задание проверяет связь сторон прямоугольного треугольника с углами. По рисунку прямой угол находится при C, значит AB — гипотенуза. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а катет BC лежит напротив него. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 41 = 82.

Ответ: 82.

Задание проверяет свойства параллелограмма с перпендикулярными диагоналями и диагонали ромба.

Сумма противоположных углов равна 120°, а они равны, значит, ∠A = ∠C = 60°. Перпендикулярные диагонали параллелограмма делят его на равнобедренные прямоугольные треугольники, поэтому его стороны равны и это ромб.

В ромбе со стороной 45 и углом 60° диагональ BD равна стороне: BD = 45.

Ответ: 45.

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов треугольника и тригонометрию прямоугольного треугольника.

Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Поскольку AB — гипотенуза длиной 44, сторона BC лежит напротив угла 30° и равна половине гипотенузы: BC = 44/2 = 22.

Ответ: 22.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Внешний угол при A равен 150°, поэтому внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°.

Катет BC лежит напротив угла 30°, а в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы. Поэтому AB = 2 · 37 = 74.

Ответ: 74.

Задание проверяет свойство смежных углов и катета, лежащего напротив угла 30°.

Внутренний угол A смежный с внешним, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.

Катет BC лежит напротив угла A и равен половине гипотенузы.

Следовательно, AB = 2 · BC = 2 · 27 = 54.

Ответ: 54.

Проверяется нахождение площади прямоугольника по тригонометрическому отношению в прямоугольном треугольнике. В треугольнике ACD tg ∠CAD = CD/AD = 0,1; поскольку CD = AB = 11, AD = 110. Площадь прямоугольника равна AB · AD = 11 · 110 = 1210.

Ответ: 1210.